2011.01.10
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匸P　　コーヒーブレイク　

　　　　　　ガロア
　　　　　　天才数学者の生涯

　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　加藤文元著　　中公新書　2010.12.20
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　現代物理学者インフェルトによる本格的なガロアの伝記が出たのは、1948年の
ことであった。それ以後ガロアの名は一般人にも広まり、ますます輝きを増している。
　ガロアの死から14年後、ポール・デュピュイ は、20歳と7ヶ月で決闘に倒れ世を
去った若者の遺稿解読に成功し、専門誌にガロアの数学的功績を発表した。
　1870年になって、ようやくジョルダンが「置換論」で、ガロア理論が確立した。
　彼は「自分の仕事はガロワの諸論文を注釈したものに過ぎない」と記した。
　1896年、70ページほどの冊子だが、初めての伝記を書いたもデュピュイであった。
　だが伝記の翌年、1897年に出版されたガロア全集はたった60ページしかなかった。
　量子力学に応用され、現代数学の空気や水のような存在になったガロアの群論は
どのように伝えられたのか。原資料を提示しながら優しく解説してくれている。
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　今日は成人の日。20歳になった若者が大人の仲間入りをするお祝の日だ。
　180年前のお正月、ガロア(Evariste Galois 1811年10月25日-1832年5月31日)は
まだ19歳だった。そして翌年の1832年、20歳で世を去った。
　その頃の彼がどんな気持ちでいたかを思うと胸が痛む。
　1830年、18歳のとき、アカデミーに送付した2度に渡る論文は、取り上げられない
まま遺失されていた。
　1829年7月には、ブール･ラ･レーヌ村長であった父親が自殺に追い込まれた。
　そして葬儀の場で、父を陥れた司祭に対する故郷の民衆の怒りを目撃していた。
　彼はいわば過激派の学生と同じように先鋭な共和主義者になって行った。
　ルイ・フィリップに乾杯！と叫んだ居酒屋事件を大デュマが伝えている。
　この件でガロアは一度逮捕され、裁判の結果無罪放免されているが、それ以後
当局が危険分子としてガロアに目を付けるようになった。
　1830年、7月革命が起きた。
　エコール･ノルマルのギニョー校長は、校内に学生を閉じ込め日和見を決めた。
　ガロア達は塀の中で何とか外に出て民衆に合流したかったが、校長の処置で
無理やり足止めされてしまった。
　その校長が革命が成功するや一転し、7月革命を支持していたと表明する。
　ガロアはそんな校長を許せなかった。
　12月3日ギャゼ・デゼコール紙に投稿された批判記事はエコール・ノルマルの
一学生と署名したものだったが、真っ向から校長の転身を指摘していた。
　校長は12月9日、これがガロアによる投稿と確信し、文部大臣宛ての退学処分を
申請している。ガロアだけが自分の仕業ではないと否定しなかったからだ。
　一方、校長や権威に迎合する20名の学生たちが、事実の証言者たちと称し、
実名入りでこの記事への反論をまとめて投稿し、12月10日同紙に掲載された。
　ガロアは孤立無縁に追い込まれた。
　12月30日、彼は「仲間たちに告ぐ」と題した記事を、実名　E.ガロアの署名を
付して投稿し、それも掲載された。覚悟を決めた血涙の抗議であった。
　翌1831年1月4日、正式にガロアの放校処分が下った。
　今から丁度180年前のお正月の出来事だった。
　「天才の栄光と挫折」(新潮選書）で藤原正彦さんは事件をこう伝えている。
　《校長の逆鱗に触れ、将来が危うくなるのを恐れ、多くが虚偽の証言をし、
他は自分がその場にいなかったなどと逃げた。ガロアは退学となった。裏切った
一人は「ガロワが別れを告げに来た時はつらかった」と記している》　

　「ガロアの生涯～神々の愛でし人～」(レオポルト・インフェルト著）は、
市井三郎さんの名訳があり日本でもロングセラーとなった。初版1950年6月、
第二版1969年5月、第三版1996年11月と再販を重ねている。
　私は第二版出版直後に出会い、すぐに読了し、すっかりガロアに魅せられた。
　その印象があまりに強く、コーシーを誤解して恨んでいたが、この本では最新の
研究成果が冷静に紹介されていて、むしろコーシーはガロアの理解者であり、
援助者であったことが描かれている。
　コーシー亡命がなければ、ガロアの運命は変わっていたかもしれない。
　本書にしばしば引用されている「パリの聖月曜日」(岩波現代文庫）を読むと、
当時のパリの状況が詳しく分かる、おどろおどろしい貧民と病気、汚泥に満ちた
街の様子、そこでのガロアの暮らしぶりに一層引きよせられる。

　ガロアが収監されていたサン・ペラジー周辺は最貧民地区で、年間住民44人に
1名の率で死者が出るすさまじい地域だったようだ。
　ビクトル・ユゴーの「レ・ミゼラブル」も同時代の小説で、7月革命の様子が
描かれている。この小説の素晴らしさは今更説明するまでもない。
　自分が逮捕される危険をかえりみず、名を伏せ、築いてきた名声を捨て、無実の
被告を救済するために馬車を走らせ裁判所に向かう主人公のまっすぐな精神、
人間愛のすばらしさは、小説でしか表現できない。
　一方筆者は、小説のような伝記を書いたインフェルトの不十分な書きぶりを
執拗に非難している。
　だが、視点を変え、実在人物に題材にした小説とみれば、インフエルトの伝記の
価値は、いささかも失われることはない。

　ガロアは不法な軍服着用の罪で逮捕され1831年7月14日～1832年4月29日まで
上記監獄に収監され、ラスパイユと知り合い、監獄で同じ時間を過ごした。
　筆者は割愛しているが、ラスパイユの次の言葉には胸を打たれる。
　《このやせ細っているが威厳のある子は、たった2年間しか科学の勉強をして
いないのに六十年に及ぶ深い思索を経たかのようなしわを額に刻んでいる。
　彼を生かしてくれ！あと二年もすれば大科学者エヴァリスト･ガロワに
なるからだ》
　サン・ペラジー刑務所の衛生状態が悪く、その年ヨーロッパを襲い大流行した
コレラから囚人を守るため、避難先にされたのがフォートリエ診療所であった。
　ここでの暮らしは3月16日から4月29日釈放の日まで、１ヶ月余りであった。
　その間にガロアはある女性と知り合った。
　おそらく交際は5月始め、破局は5月20頃と思われる。
　5月25日に手紙を書くまでの間に何があり、どうして決闘を申し込まれるような
はめになったのか？死を覚悟するまでに、どんな恥辱を受けたのか？
　この本に最近の謎解きを期待したが、女性の実名が明らかになっていることを
知った。そのほかの事情は今も闇の中にあるようだ。
　決闘の原因は良く分からないが、この女性を巡るトラブルらしいとする説が
有力だ。藤原さんもそう解釈されていた。
　ガロア初恋の女性の名はステファニーといい、フォートリエ診療所の医師の
娘さんだったことが、1962年に研究者の努力により判明しているそうだ。
　たった一度の求愛に、彼女は拒絶の手紙を返した。
　「何もなかった頃のようにあなたと会話するよう努力するつもりです」
　その手紙は、失望したガロア自身によって一旦破られたが、その破片を自ら
拾い集め、親友シュバリエ宛ての手紙に、切れ切れの文章を転記している。
　なんと切ない思いだろう。
　
　数学書の売れ行きと計算式の量とは、みごとに相関し、方程式が少ない本ほど
良く売れるそうだ。この本の主文には全く方程式は出てこない。
　第三章にだけ「代数方程式」というコラムがあり、2次方程式の解法、3次方程式の
解法、4次方程式の解法が簡潔に記載されているのが唯一の例外だった。
　ここまで徹底した筆者の姿勢は、単に販売量を狙ったものではない。
　この形式は、ガロア理論の本質に関わる。計算方法を羅列した数式表現ばかりの
数学に限界が訪れようとしていたなか、ガロアは群論によって新しい数学表現の
世界を開拓した。そのガロアの見果てぬ夢を同じ形式で表現してくれたのだろう。
　ガロアは、群という概念によって「難しい問題」を語ることに取り組み、現代
数学の地平線を切り開いた。
　その試みは未完となった論文から、わずかに残された序文を読み解くことで、
現代数学者には十分その意図が読み取れるものだという。
　1962年、ブルニュとアズラによって編纂された「ガロア書簡および数学論文集」
に収録されたものが、この幻の論文に対する「序文」の完全復刻版で、終わりに
近い第六章にその全文が掲載されている。ガロア序文の本邦翻訳初公開だ。
　9ページに及ぶこの序文を読むと、ガロア本人の生の声を聞いているようで、
「彼を生かしてくれ！」と綴ったラスパイユの無念が伝わってくる。
　この序文で、彼は始めに３つの断りを書いている。
　第一は、王侯貴族やお偉方への謝辞はこの本には一切掲載していないこと。
　第二は、ふたつの論文は短く、数式と同じくらいの文量がフランス語の文章で
書かれていること。それが自分が採用した新しい数学の記述方法であること。
　第三は、1831年に提出した抜粋論文は科学アカデミーのポアソンに理解され
なかったこと。
　そのあとに非常に深い事柄が極めてコンパクトに表現されている。
　遅れている人々には計算の単純化には限界があることが分からないといった
説明の次に以下のようなエッセンスが書かれている。

　《(これまでの数学には）似たようなものは何もない。ここでは解析学の解析学を
構築する。ここでは(楕円函数の）最も高度な計算が、従来のものが特殊例になって
しまうまで論じられる。従来の理論は有用であったし、それを論じることは不可欠
でもあった。しかし、それにしがみつくことは、より広大な研究のためには有害で
ある。このような高い立場の解析によって予言される計算、求める問題の特殊性に
応じて形ではなく難しさによって分類された計算が実現される日がやがて来るで
あろう。
　私が求めている一般理論は、私の著作をその一つの応用として注意深く読む場合に
限り、よく理解することができるであろう。理論的なことが応用に先んじるという
視点からでは理解できない。（以下略）
　　　　　　　　　サン・ペラジーにて　　1831年10月　　　Ｅ・ガロア》

　世界中の数学ファンと同様、私もこの序文に続く論文が完成していたら、
世界の数学は今のレベルの100年先まで来ていただろうと思ってしまう。
　20世紀終わり近くになって、ようやくワイズがフェルマーの最終定理を証明し、
ベレルマンがやっとのことでポアンカレー予想を解明した業績の基礎理論に、
ガロア群があり、対象性があった。現代数学の主役は間違いなくガロアだ。
　1830年代に明確なガロア論文が出版されていれば、リーマンはゼータ関数に
ついての仮説を残すことなく自ら証明を残してくれていたかもしれない。
　現代数学の基礎は、100年も早くガロアの頭の中にだけ完成域に近付いて存在
していた。その樹玉のような論文を書き下ろせかった20歳の青年が、決闘前夜、
もう時間がないとメモした。そして大急ぎで書き残してくれたわずかな手紙と、
この論文の序文だけを残し、1832年5月31日、ガロアは神々にめされた。
　「泣くな、20歳で死ぬためにはあらん限りの勇気が必要なのだ」
　こう言ってコーシャン病院で看病に駆け付けた弟アルフレッドを慰めた。

　親友のオーギュスト・シュバリエがこれらの声や手紙を保管してくれていな
ければ、私たちはガロアがこの地上にいたことさえ忘れ去っていたかもしれない。
　それから10年以上も経った1846年、ジョセフ・リューヴィルがガロアの仕事を
まとめ「純粋および応用数学年報」に報告してくれた。
　この功績がなければ、その足跡を辿る手だてさえ存在しなかったことだろう。
　リューヴィルはガロアの理論が理解できた時の感動を次のように書いている。
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　エヴァリスト･ガロアの主要な研究は、根号による方程式の可解性について、
そのための条件を追求することを目的としている。著者は、一般理論の土台を
きづき、それを詳細に素数次数の方程式に適用している。ガロアは16歳のとき、
まだルイ・ルグランの学生てあったときに、このむずかしい問題と取り組んだ
のであった。
（学士院の審査員が不明瞭なことを理由にしてガロアの提出論文を拒否した）
　この欠陥の原因となったのは、簡潔をあまりに重んじたことにある。純粋代数
数学の抽象的で神秘的な問題を扱うときには、何よりも、こうした欠陥は避ける
ようつとめなければならないものである。読者を、踏みならされた道から、さらに
広大な領土につれだしたいならば、ますます明確さというものが必要になって
くる。デカルトが述べているように『超越的な問題が論じられているときは、
超越的に明瞭であれ』。あまりにもしばしば、ガロアはこの教えに反している。
著名な数学者たちが、天才にあふれてはいるが未経験なこの初心者を、きびしい
忠告によって正道にかえらせようと努めたのも、今ではうなずけることである。
　彼らに批判されたこの初心の著者は、熱心でもあったし積極的でもあったの
だから、彼らの忠告を受けいれて、利益を得ることもできたはずである。
　しかしいまや、無益な批判にふけるのはやめよう。欠点はそのままにして、
長所をみよう。
（リューヴィルはこの草稿を調べたことで）
　私の熱意は報いられた。二、三のわずかな空白を埋めて、ガロアの方法の完全な
正さを知ったとき、私は強烈なよろこびを感じた。この方法によって証明されて
いるのは、他でもなく『素数次の既約方程式が根号だけで解けるためには、その
すべての根がそのなかの二個の有理関数で表されることが、必要にして十分である
という美しい定理である』。（「数学をつくった人びと」E･T･ベル著訳文より）
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　筆者によれば、ガロア理論は「代数方程式」に閉じられたものではなく、数学
全般のパラダイムに関わる、より広大な理論の地平を見据えていたもので、様々
な数学的対象を、難しさ＝複雑さの観点から捉え分類する学問だという。
　ガロアの〈一般理論〉について筆者の簡潔なまとめは次のようになる。
　・ガロア理論とは、数学的対象の難しさを、それに付随した対象性全体から成る
　　システムの構造によって記述する学問である。
　一般にn次方程式はn個の根を同時に持ち、それらはすべて平等の立場で表れる
ので、どれか一個を特定することは(そのままでは)できない。つまりそこに曖昧さ
が残るわけだが、これを統制するのがまさに「ガロア群」である。

　こうした筆者の解説が十分理解できている分けではないが、従来の数式で導か
れる数学の解法では表現し得ない解の群を、このように曖昧な形で記述する仕方、
「数の曖昧さ」こそガロアが記述した「数の難しさ」という表現に他ならないこと
は分かった。
　その「曖昧さ」をコントロールすのるが「群」という対象性システムである
ことも何となく理解できる。
　対象性についての現代数学の美しさは、尽きることがない。

　今年10月はガロア生誕200年にあたる。
　フランス数学会では、べルナダン通り16番地(16 rue des Bernadins）に記念
プレートを設置する計画があるそうだ。
　短い生涯の最後の1月を彼が過ごした町並は、幸いなことに古い面影を残した
ままその位置に存在している。
　googleストリートで訪問してみるとサンジェルマン･デプレ付近にある南北の
細い路地だった。
　北側はセーヌ左岸、その向こうにはシテ島のノートルダム寺院が見える。
　15歳頃のガロアを描いた絵と弟が思い出しつつ書いた絵だけが伝わり、今では
モンパルナスの墓地さえ定かでない。
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　ガロアは地上に一瞬きらめいた星のような天才だった。