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匸P コーヒーブレイク
もっとも美しい対象性
Why Beauty Is Truth: The story of symmetry,2007
Ian Stewart 著 水谷淳 訳 日経BP社 2008.10.20
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イアン・スチュアートのとても楽しい本なのに一般書店に並んでいないのが残念だ。
分類上、数学の本になるのだろうが、全体を通してみると、科学史でもあり、一部は
物語のようなところもある。テーマの後半はアインシュタインの相対性理論が登場し、
シュレーディンガー、ニールス・ボーアの量子論が新たな主役になって、物理の本にも
なっている。中でも、新発見の豊富さから、物理屋さんで量子論が優先され、宇宙の
大統一理論への情熱がアインシュタイン以後、廃れてしまった事情にはうなずける。
そして5次元から10次元宇宙、なかんずく「ひも理論」への論考などは、まるでSFの
世界だ。さらに登場人物が多く、それぞれの紹介が丁寧で細部に及び、個人伝記集の
ようでもある。ひとつぶで、何度もおいしい、とてもお得な書物だ。
とりわけイギリス人らしくハミルトンの名誉を語る部分には熱が入り、人間を深堀り
する書きっぷりがこの人の魅力だ。
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2008年ノーベル物理学賞を受賞した南部陽一郎(87)、小林誠(64)、益川敏英(68)らの
研究成果はクォークという素粒子の基本粒子に関するものであった。
まさかこの本のテーマが、クォークにたどり着くとは夢にも思わなかった。
数学には未知の値を見つけるための解法として、代数学があった。二次方程式は、
どのようなものでも解くことかできる。
x^2+ax=b の解は、x=√(a/2)^2+b + a/2として求められる。
三次方程式になると、少々凡人には困難さを伴うが、虚数を用いると解が得られる。
カルダーノの「偉大なる術」(1545年)という本にこのような問題が提示されている。
和が10で積が40である二つの数を求めよ。
答えは、5+√-15 と 5-√-15という奇妙な数値になる。
確かに足算してみると、和は+√-15と-√-15が打ち消しあうので、5+5=10になる。
積は（5+√-15）×（5-√-15）＝5^2 -（√-15）×（√-15）＝25+15 ＝40になる。
カルダーノ自身は虚数を使う解法について詭弁だといい、イメージできない数として
「架空の数」とも言っているようだ。
しかし、虚数は厳然として存在する。
バリー・メイザーが「黄色いチューリップの数式 √-15をイメージすると」という
本を書いている。
そのなかで、虚数をイメージする手段として「黄色いチューリップ」を何度も使って
いるが、凡人の読者である私には、混乱が増すばかりであった。
しかし虚数が、どんなにイメージしにくくても、数を表す記号なのだと割り切って
付き合うと、これほど便利な数はない。
普通私たちが学校で習うレベルだと，これをiで表現するところまでで終わる。
代数の解法に話を戻すが、16世紀の数学者が気づいていたこととして、累乗根を使って
四次方程式までは解を得られるが、五次方程式になると、解を持たないことが分かって
きている。
このことを最初に証明したのは26才で病没したアーベルだった。
そして五次方程式に限らず、もっと高次の方程式も含め、対称を置換するという
概念を用いて解が存在しないことを証明したのが22才で決闘に散ったガロアだった。
たとえば一般的な5次方程式を解くとして、根は5つあるので、その置換には五種類の
記号が関わってくる。そうした置換は120通り存在する。（abcde,abced,.....etc）
方程式の係数は完全に対称的で、これら120通りの置換をすべて含んだ群をなす。
ガロアは、この置換の計算で、5つの解が含まれる正規部分群が一つも存在しない
ことを確かめるという方法を発見したのだ。
逆に二次、三次、四次方程式においては、それぞれ平方根や立方根の枝分かれ群が
存在していて2つ、3つ、4つの解が含まれる正規部分群が存在することが確認できる。
このアプローチは群論に発展し、実数、虚数までで終わっていた数の概念を、さらに
大きく広げるきっかけとなって今日まで大活躍を続けている。
フェルマーの最終定理を証明できたのもガロアの群論があったからだ。
途中で余談のように挿入される話題が実に興味深いので、ひとつだけ紹介することに
する。正多角形はどこまでコンパスで作図できるかという問題だ。
3角形、5角形までは書ける。しかし7角形は書けない。次に書けるのは17角形だ。
これを発見したのはガウスだそうだ。
17は、2^4+1という特異な数だ。方程式 x^17-1=0の解があるのは、17が x=1と
16次多項式つまり2^4の根の形からなり、一連の二次方程式として解くことができる
特殊な数だからだ。こうしたp-1が2の累乗となる奇素数をフェルマー素数という。
三角形は 3-1=2, 5角形は 5-1=4 でいづれも2の累乗だ。
七角形は 7-1=6 で6は2の累乗ではないから作図不可能ということになる。
17の次に作図可能なのは257で、その次はかなり大きくなって65537になる。
現在知られているフェルマー素数はこれですべてだ。これ以上のものが存在するかも
しれないし、存在しないかもしれない。少なくとも次がもしあるとしても1000万桁以上
の数になるらしい。(2^33554432+1がその候補で、33554432自体が2^25で2の累乗)
世の中には物好きな人がいるもんだ。
1837年にF.J.リヒェロットというひとが、正257角形の作図法を発表しているそうだ。
それによると角の二等分を7回繰り返すことにより円周を257の等しい円弧へ分割する
方法が論じられているという。
正65537角形に関しては1894年にリンゲン大学のJ.ヘルメスというひとが10年掛かりで
完成させた作図法が存在するそうだが、現代の数学者が目を通したところ、その結果は
間違っているようだとの話だ。
5次方程式に解がないこと、その証明過程でガロアの群論が生まれたことまでは、
どうにかついてこれたのだが、ハミルトンが1843年10月16日にブルーム橋のたもとで
ひらめいた4元数になると、空想することすらできない世界に入ってくる。
それは、i^2=j^2=k^2=ijk=-1 という公式なのだが、i,j,kは いずれも虚数を表して
いる。通常は i=√-1としてx+iyと書かれる複素数（x,y）のペアが、(x,y,z,w)の四つの
組としても、またx+iy+jZ+Kwという組み合わせた形としても書けることを示している。
-1の平方根はiと-iのふたつだけではなく、j、-j、k、-kもまた-1の平方根なのだ。
ところが4元数の世界に入ると四則演算の一部が使えなくなる。通常の複素数では
成り立つ交換則（掛け算の順番）が成り立たなくなるのだ。
次に登場するのはマリウス・ソフス・リーだ。
このひとは対称性に関する画期的な研究をした。ガロアが代数方程式で用いた対称性の
理論を、微分方程式に応用することを思いついたのだ。
ガロアの研究した群はすべて有限だった。群に含まれる変換の個数は整数で、たとえば
5次方程式の5つの根にたいするすべての置換の群は120だった。
しかし実際に意味のある群の多くは無限の置換を持っている。
微分方程式の対称群も無限にある。
一番簡単で分かりやすいのは円の場合だろう。円の対称群は、円を任意の角度で回転
させ、同じ形つまり対称にする回転方法は無限に存在する。だから円の回転群は無限で
ある。こうした群はSO(2)という記号で示される。Oはorthogonal、直交つまり平面上を
回すこと、 Sはspecialで回転によって平面がひっくり返らないことを意味している。
鏡面のような対称も円の場合変化しないので、この性質はO(2)という記号で示される。
少々話が込み入ってきて恐縮なのだが、こうした置換方法をどんどん進めていくと
あらゆる多様体の性質を、単純な特徴で表現した群に置き換えることが可能になる。
これをリー群と呼んでいるのだが、円はSO(2)という回転対称変換をもつリー群に
入る。そして円の接線を使って接空間というものをひねり出すと、線型である性質から
代数演算ができるようになる。これをリー環と呼ぶ。
こんなことをして何の役に立つのだろうと思って読み進んでいたのだが、キリングと
いうひとが、こんどはリー群に対応するリー環の全リストを作成し、その整理を行って
みると、微分方程式からの対称群は、すべて無限にあると思った当初の前提が間違いで
あったことを発見してしまうのだ。
なんという驚きの連続だろう。
レンガにしてもタイルにしても、あらゆる多面体は自由なサイズで作ることができると
思っていたら、例外的に、サイズが限定される多様体が存在するというのだから、これは
本当に驚きだ。その部分を少し以下に引用してみよう。
間もなくキリングは、現在ではG2と呼ばれているリー群に対応する新たなリー環を
発見し、単純リー環に関する当初の予想が間違っていたことを知った。この群は14の
次元を持ち、特殊線型群や直交群とは違って無限族には含まれていないようだった。
孤立した例外だったのである。
例外は全部で5つあった。5つまでで、これ以上はない。
4面体、サイズ14 G2
8面体、サイス52 F4
12面体、サイズ78 E6
12面体、サイズ133 E7
12面体、サイズ248 E8
こんな奇妙な例外群が存在することは、美しくあらねばならなら数学の公式からして
多分自分が間違っているのだろうとキリングは考えたそうだ。自身が導いた4つの無限群
分類の美しさを台無しにしているからだ。
しかし、やがてこれらの例外が素粒子物理学に重要な解をもたらしてくれることに
なるのだから、世界は不思議に満ちている。
私たちの身近な世界は3次元に見える。時間軸を入れても4次元だ。だから4次元よりも
高次の世界は空想することができない。しかし、宇宙は4次元空間だけでは説明しきれ
ない力、何かで動いている。
それが量子の世界だったり、相対性理論の世界だったりする。
ビッグバン宇宙を時空でたどると、宇宙の始まりは137億年前の爆発までは行き着ける
がその前がない。ちょうど電子エネルギーの静止状態から絶対零度以下が存在出来ない
ように、宇宙の発生過程をビッグバンの瞬間まで縮めていくアプローチでは、宇宙時間
に、始まりを設定しなければ説明できなくなる。
それじゃあ、その前はどうだったの？などど子供に聞かれても、その前は、私たちの
宇宙じゃないから知らないとしか応えられない。
私たちが今見ているこの宇宙の歴史年表には137億年より古い時代はないから、どうに
かなっているが、マクロな宇宙歴を書く必要がある場合、ビッグバン以前という時間軸
は、白紙というか無と表現しておくしかないのが現状なのだ。
その点で数学は、やはりエレガントな世界を提供してくれる優れ者だ。
ハミルトンの4元数は、4では終わらなかった。8元数が登場するのだ。
単なる空想の産物でしかないように見える8元数だが、どえらいパワーを秘めた数で
あることが分かってきている。ちなみに、16元数は存在しないことが分かっているそう
だから、一応8で打ち止めだ。
1914年にエリ・カルタンというひとが複素数体系の対称群について考えているうちに、
4元数の対称群は、実3次元空間における回転群SO(3)に極めて似たSU(2)であることから、
それなら8元数の対称群は何だろうかという問題に行き着いた。そして答えが得られた。
あの奇妙なG2という14次元は8元数の対称群だったのだ。
1949年になると、遠近法で描いた絵の中で、3次元の空間ではどこまでも平行な道が
遠く地平線で交わるように、射影幾何学を複素数に応用する試みが実を結んだ。
16次元の8元数射影平面を構築する意味のある方法が数理物理学者パスクアル・
ヨルダンによって発見され、翌1950年には群論学者のアルマン・ボレルが、F4は8元数
射影平面の対称群であることを証明した。
文章説明ではイメージできないかもしれないが、8元数射影平面は、複素平面に似て
いるが、実数ではなく8元数の目盛りがついた二本の8次元"定規"から作られている。
残るE6,E7,E8もまたその実態が解明されていく。
1956年頃、ロシアの幾何学者ボリス・ローゼンフェルトが、これらの例外型リー群も
射影平面の対称群であるという推測を立てた。
ただし、ここでは8元数の代わりにもっと複雑な数を使わなければならない。
E6: 複素数と8元数から作られる"複・8元数"
E7: 4元数と8元数から作られる"4･8元数"
E8: 8元数と8元数から作られる"8･8元数"
いよいよ「もっとも美しい対称性」の真打ちが登場する。
宇宙の根源についての議論は、今ではクォーク、反クォークの発見によって、その
振る舞いが、少し説明できるようになっている。
素粒子は60種類もあってもはや素と呼ぶには相応しくない様相を示している。
その特徴はスピンにあって、奇数倍のスピンを持つ粒子をフェルミオン、偶数倍の
スピンを持つ粒子をボゾンという。陽子、電子、中性子、ニュートリノはみんな
フェルミオンに属する。陽子や中性子はクォークからできている。
そのクォークは基本が6種類あり、アップ、ダウン、ストレンジ、チャーム、トップ、
ボトムと呼ばれ、色が三色ある。従って全部で18種。それぞれにまた反クォークがある。
これらのクォークの組み合わせで陽子や中性子は成り立っているのだが、陽子などを
支配している法則がある。構成要素であるクォークの置換に対して対称的であることだ。
陽子や中性子からクォークを取り出してごちゃまぜにしても元にもどれる性質は、この
対称性から成り立っている。
この性質はキリングのリストにあるSU(3)という連続群になる。
かくしてリー環と素粒子、ひいては宇宙を支配する4つの力である重力、電磁気力、
強い力、弱い力との関連が始まり、大統一理論の可能性が見えて来ているらしい。
以下本文を引用する。
1980年に物理学者たちは、3次元、4次元、6次元、10次元の時空ではかなり都合の
よい関係が存在することに気づいた。ベクトル(方向付きの長さ)とスピノル（もともと
ポール・ディラックが電子スピンの理論のなかで作り出した代数的道具）は、これらの
時空においてだけ極めて密接に関連するのだ。なぜか？実はベクトルとスピノルの関係
は、時空の次元がノルム多元体の次元より2大きいときにだけ成り立つのである。
3､4､6､10からそれぞれ2を引けば、1､2､4､8だ。
数学的に重要なのは、3､4､6､10次元のひも理論では、スピノルはすべて、それに対応
したノルム多元体に含まれる二つの数を使って表現できることである。他の数の次元
ではそうはならず、この事実は物理学的に都合のよい数々の帰結をもたらす。こうして
四つのひも理論の候補が並ぶことになる。実数、複素数、4元数、8元数だ。そして
これらひも理論候補の中で、現実に対応する可能性が最も大きいものとして現在考え
られているのが、8元数によって特徴付けられる10次元のひも理論なのだ。もし10次元
ひも理論が本当に現実と対応しているとしたら、我々の宇宙は8元数からできていると
いうことになる。
もっとも美しい対称性は、無限族ではなく、たったひとつしか対称群をもたない例外型
リー群 E8: 12面体 サイズ248 という特殊な多元体の形で、宇宙を作っているのかも
しれない。
その姿はとうていイメージすることはできないが、少なくとも私たちは、宇宙が無限の
可能性の中から、たったひとつの例外型によって決定される数学的な対称関係によって
生まれていると想像できるところまできている。
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数学の最前線が、宇宙の姿と異次元で合流するとは、なんというロマンだろう。
